一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱，

设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，圆锥的高为H，圆柱的高为x，则由三角形的相似关系得(R-r)/R=x/H，故r=R-Rx/H。圆柱的侧面积为S=2πrx将r=R-Rx/H代入，得S=2πx(R-Rx/H)=2πRx-2πRx²/H由S'=2πR-4πRx/H=0，得最大值点x=H/2=3cm，其最大值为2πRx-2πRx²/H=πRH/2=6π(cm²)。

(1)、设圆柱半径r = 2 - y，则x/y = 6/2 = 3，y = x/3，r = 2 - x/3；圆柱的侧面积S = 2πrx = 2π(2x - x^2/3 ) = 2π [ (-1/3)( x^2 - 6x + 9 ) + 3 ]=2π [ (-1/3)( x - 3 )^2 + 3 ](2)、由上，x = 3时，圆柱侧面积最大，Smzx =2π * 3 = 6π 。

圆锥顶部的小圆锥，高=(6-x)厘米，半径=(2/6)(6-x)厘米。∴内接圆柱半径r=(1/3)(6-x)厘米。【1】侧面积S=2πrh=(2πx/3)(6-x)平方厘米【2】S=(2π/3)[9-(x-3)²]≤6π平方厘米当x=3时，侧面积最大。

(1)、-⅔x²+4πx（2）、抛物线向下，有个顶点 ，顶点就是最大值

解：（1）设圆柱底半径为r, 则： (6-x)/a=6/2 a=2-x/3 所以，圆柱的侧面积= 2π(2-x/3)x =-2πx²/3+4πx （2）设圆柱侧面积的最大值是 y, 侧： y=-2πx²/3+4πx =(-2π/3)(x²-6x) =(-2π/3)(x-9)²+6π 因为 二次项系数 -2π/3＜0 所以y有最大值， 当 x=3, y最大=6π 所以，当x=3时，圆柱侧面积最大值是 6π。