体积是144还是108cm

表面积 x^2 + 4hx = 108x^2 + 4hx + (2h)^2 = 108 + 4h^2；( x + 2h )^2= 108 + 4h^2；x = 2√( 27 + h^2 ) - 2hx^2 = 108 - 8h√( 27 + h^2 ) + 8h^2；体积 V = hx^2 = 108h - 8h^2√( 27 + h^2 ) + 8h^3；V' = 108 - 8[ 2h√( 27 + h^2 ) + h^3/√( 27 + h^2 ) ] + 24h^2 = 0；解得：h = 3；x^2 + 4 * 3x = 108，x = 6；体积 V = 6 * 6 * 3 = 108 。

当x=6cm，h=3cm时，最大V=x²h=6²*3=108cm³。&x²+4hx=108，4hx=108-x²，h=(108-x²)/(4x)。V=x²h=x²(108-x²)/(4x)=27x-x³/4。V'=27-3x²/4=0，x=6。h=(108-x²)/(4x)=(108-6²)/(4*6)=3。

长方体的长和宽都是x，高是h，所以表面积=2×（x²+2xh）=108把上面的h表示为x的函数：h=（54-x²）/2x容器容积v=x²h=x（54-x²）/2求这个函数的最大值即可自己检查一下过程有没有弄错的，反正思路是这样的

x^2+4xh=108h=(108-x^2)/4xV=x^2*h=x^2*(108-x^2)/4x=(108x-x^3)/4对V求导V'=(108-3x^2)/4设V'=0(108-3x^2)/4=0108-3x^2=03x^2=108x^2=36x=6mh=(108-x^2)/4x=(108-36)/24=3m所以V最大=x^2*h=6^2*3=36*3=108m^3

答：设底边长为x,则高为108/x^2,表面积为S.S=x^2+4x*108/x^2=x^2+432/xS'=2x-432/x^2当S'=0时,2x-432/x^2=0即x^3=216解得x=6所以底边长为6m,高为108/6^2=3m时,用料最省,此时S=108cm3