O是三角形ABC所在平面内一点，且a,b,c是三角形的三条边长，

答案是内心。 因为OB=AB-AO OC=AC-AO 所以aOA+bOB+cOC=aOA+bAB-bAO+cAC-cAO =bAB+cAC-(a+b+c)AO 而 aOA+bOB+cOC=0 所以(a+b+c)AO=bAB+cAC 即 AO=b/(a+b+c) * AB + c/(a+b+c) * AC 记AB=c*eab, AC=b*eac, 其中eab eac分别表示AB AC方向上的单位向量 则 AO=bc/(a+b+c) * (eab+eac) 由该式可以看出AO位于角BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点。 接下面还需要证明内心满足上式。因为上面只是证明了如果存在这样的点O，那么点O只能是内心