求经过A(3,0),B(5,0)两点，且最大值为4的二次函数解析式

解：依题意，设该二次函数解析式为y=a(x-3)(x-5)(a≠0)对称轴x=(3+5)/2=4即当x=4时，y取得最大值，此时y=4则a(4-3)(4-5)=4所以-a=4故a=-4因此，二次函数解析式为y=-4x²+32x-60

对称轴 x = ( 3 + 5 )/2 = 4，顶点 ( 4，4 )；故y = a( x - 4 )^2 + 4；x = 3，y = a + 4 = 0，a = -4；函数解析式为 y = -4( x - 4 )^2 + 4 ；或y = -4x^2 + 32x - 60 。

设f(x)=a(x-3)(x-5)f(x)=a(x^2-8x+15) =a(x-4)^2-a所以 -a=4，a=-4f(x)=-4(x-3)(x-5)=-4x^2+32x-60

∵ 二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（5，0）两点。∴ 函数的对称轴方程为x=4设函数解析为：y=a(x-3)(x-5)∵ 函数的最大值为4∴ 函数图象过（4，4）点即：4=-a a=-4二次函数解析式为：y=-4(x-3)(x-5)=-4(x^2-8x+15)=-4x^2+32x-60

所求二次函数图像经过A(3,0),B(5,0)两点，所以对称轴是x=(3+5)/2即 x=4, 最大值为4，所以顶点坐标是（4,4），可设二次函数解析式为 y=a(x-4)²+4因为点A（3,0）在图像上，所以 x=3时 y=0,代入 上式得 0=a(3-4)²+4, 即a+4=0,所以a=-4所以，这个二次函数就是 y=-4(x-4)²+4化成一般式得所求的二次函数的解析式 y=-4x²+32x-60

设二次函数解析式为ƒ(x)=a(x-b)²+4 a<0代入坐标：ƒ(3)=a(3-b)²+4=0ƒ(5)=a(5-b)²+4=0解联立方程：a=-4，b=4即所求二次函数解析式为：ƒ(x)=-4(x-4)²+4

用顶点式：y=-(x-4)²+4对称轴：x=(3+5)/2=4

设二次函数解析式为：y=ax^2+bx+cy=ax^2+bx+c=a(x^2+bx/a)+c=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a因为有最大值，所以a<0c-b^2/4a=4..........1因为经过(3,0)(5,0)两点，所以9a+3b+c=0........225a+5b+c=0.........33式减2式16a+2b=0b=-8a代入1式c-(-8a)^2/4a=4c-16a=4c=4+16a把b,c分别代入2式，得9a+3*(-8a)+4+16a=09a-24a+4+16a=0a=-4b=-8*(-4)=32c=4+16*(-4)=-60所以二次函数解析式为：y=-4x^2+32x-60