已知x，y为正实数。且xy+2x+4y=41，则x+y的最小值。可不可以直接另x=y代入求出最小值？

人文教育

360U3090209527 |浏览880次

收藏|2021/08/19 21:11

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检举 |2021/08/19 21:36

不可以直接令 x = y 代入求出最小值，这没有根据。事实上，若x = y，则原式为 x^2 + 6x - 41 = 0，x = [ -6 +10√2 )/2；x + y = 10√2 - 6 = 8.14；而实际上，x = 3，y = 5时，x +y有最小值 8 。xy + 4y = 41 - 2x，y( x + 4 ) = 41 - 2x，y = ( 41 - 2x )/(x + 4 )；x + y = x +( 41 - 2x )/( x + 4 )= x - ( 2x + 8 )/( x + 4 ) + 49/( x + 4 )= x - 2 + 49/( x + 4 )= x + 4 +49/( x + 4 ) - 6；由均值不等式，x + 4 + 49/( x + 4 )≥ 2√[ ( x + 4 ) * 49/( x + 4 ) ] = 14所以x + 4 + 49/( x + 4 ) - 6最小值为 14 - 6 = 8 。即x + y最小值是 8 。

寂园晓月

会元 | 采纳率100% | 回答于 2021/08/19 21:36

其他回答(5)

理科爱

x与y都是正数，xy+2x+4y=41，(x+4)(y+2)=49，y=49/(x+4)-2。x+y=(x+4)+49/(x+4)-6≥2√[(x+4)*49/(x+4)]-6=2*7-6=8。等号当x+4=49/(x+4)，即x=-4+7=3时成立。所以 x+y有最小值8。当x=y时，x²+6x=41，x=-3+5√2，x+y=2x=10√2-6>8。不在最小点，不是最小值。
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回答于 2021/08/19 23:11
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阿柒_20

不行(x+4)(y+2)=49
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回答于 2021/08/19 22:57
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老三木l

不可以。为什么“另x=y代入”？难道x=y时可以求出最小值？不对。这样做：∵xy+2x+4y=41∴y=(41-2x)/(x+4)x+y =x+(41-2x)/(x+4)=x+4-4+(41-2x)/(x+4)==6+ 8/(x-4) +(x-4)≥6+4√2当且仅当8/(x-4) =(x-4)时，等号成立∴最小值为：6+4√2
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回答于 2021/08/19 22:36
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风的使

肯定不行啊。笨一点的办法是：xy+2x+4y=41 则x=(41-4y)/(y+2)x+y==(41-4y)/(y+2)+y=[49-4(y+2)]/(y+2)+y=-4+49/(y+2)+y=-6+49/(y+2)+(y+2)（大于等于-6+2*根号[49/(y+2)*(y+2)=-6+2*7=8 ,当且仅当49/(y+2)=y+2时取等号，此时y=5，则x=3所以x+y最小值为8，此时x=3 y=5
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回答于 2021/08/19 22:23
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函数fff

用算术平均值大于几何平均值计算a+b≥2√(ab)xy+2x+4y=41，(x+4)(y+2)=49当x+4=y+2=√49=7，即(x，y)=(3，5)时，最小值 x+y=3+5=8可见x=y时，x+y不是最小值。
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回答于 2021/08/19 21:52
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