求解三角函数方程：sin(84°)/sin(54°)=sinα/sin(54°-α)100

人文教育

考L |浏览853次

收藏|2021/08/27 11:05

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检举 |2021/08/27 11:38

你好又见面了，你上一个问题（求∠B那个我也在，初中方法没想通的那个）还是我来吧，小白来讲的话可能整个过程比较繁琐，而且都用的高中知识sinα/sin(54°-α)=sin84°/sin54° 即就是sin(54°-α)/sinα=sin54°/sin84°我们把sin(54°-α)按照三角函数和差化积公式展开=sin54°cosα-cos54°sinα(这个是高中知识了），那么sin(54°-α)/sinα=sin54°/tanα-cos54°=sin54°/sin84°所以tanα=sin54°sin84°/(sin54°+sin84°cos54°）而sin54°=sin(3*18°）=cos(36°）=cos(2*18°）根据三角函数公式sin3A=3sinA-4(sin^3A) (sin^3A是sinA的三次方）cos2A=1-sin^2A 所以就有3sin18°-4sin^3（18°）=1-sin^2(18°）解得sin18°=（-1+√5）/4所以 sin54°=（1+√5）/4 cos54°=[√(10-2√5)]/4而sin84°=sin(54°+30°）=sin54°cos30°+cos54°sin30° sin30°=1/2 cos30°=√3/2把上面数值带入可得tanα=√3/3 (带入过程较繁琐，我就没有写出来，可以自己试试）所以α=π/6+kπ 结合你上个提问 α是三角形内角，所以α=π/6=30°

风的使者12

秀才 | 采纳率100% | 回答于 2021/08/27 11:38

其他回答(3)

yqdyq59

解：sin84°≈0.99452sin54°≈0.80902sin(84°) / sin(54°)≈1.2293sinα / sin(54°-α)＝1.2293sinα ＝sin(54°-α)×1.2293计算：sin(54°-α)＝sin54°cosα－cos54°sinαcos54°＝√﹙1－0.80902²﹚≈0.58778∴sin(54°-α)＝sin54°cosα－cos54°sinα≈0.80902cosα－0.58778sinα∴sinα ＝sin(54°-α)×1.2293sinα ≈﹙0.80902cosα－0.58778sinα﹚×1.2293sinα ≈0.99453cosα－0.72256sinαsinα ＋0.72256sinα≈0.99453cosα　　　 1.72256sinα≈0.99453cosα　　　　 sinα/cosα＝0.99453/1.72256 tanα≈0.57736　　　　　∴ α＝atctan0.57736 　　α≈30°简单验算一下：sin30° / sin24°≈0.5/0.40674≈1.2293sin84° / sin54°≈1.2293α≈30°符合题意。
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回答于 2021/08/27 12:49
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函数fff

用特殊值sin30°=1/2，cos30°=(1/2)√3sin54°=(1/4)(√5+1)，cos54°=(1/4)√(10-2√5) 用加法定理sin84°=sin(30°+54°)=sin30°cos54²+cos30°sin54°sin(50°-α)=sin50°cosα-cos54°sinx把方程化成tanα=1/√3
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回答于 2021/08/27 12:30
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四分之

54°是特殊角与正5边形有关x=sin54°=(√5+1)/44x²-2x-1=0变换可得sin84°sin24°=sin30° sin54°最终可得α=30
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回答于 2021/08/27 12:10
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