定积分的计算20

计算这两道题要用三角公式 (sinx)^2 = (1/2)[ 1 - cos(2x) ]1、[ 1/(2π) ]∫( 0，π ) { Im* [ sin(ωt) ]^2 } d(ωt)=[ Im^2/(4π) ]∫( 0，π ) { 1 - cos(2ωt) } d(ωt)= [ Im^2/(8π) ] ∫( 0，π ) { 1 - cos(2ωt) } d(2ωt)= [ Im^2/(8π) ] [ 2ωt - sin(2ωt) ] ( 0，π )= [ Im^2/(8π) ] [ 2π - sin(2π) ]=Im^2/4原式 =√(Im^2/4 ) = Im/2 。2、[ 1/(2π) ] ∫( π/2，π ) { Im* [ sin(ωt) ]^2 } d(ωt)= [ Im^2/(8π) ] ∫( π/2，π ) { 1 - cos(2ωt) } d(2ωt)= [ Im^2/(8π) ][2ωt - sin(2ωt) ] ( π/2，π )= [ Im^2/(8π) ][ 2π - sin(2π) -π +sin(π) ]= Im^2/8原式 = √( Im^2/8 ) = Im/(2√2) 。

两个题目中被积函数是一样的，只要对被积函数用三角函数中的倍角公式进行变换：Im^2*[sin(ωt)]^2＝Im^2*{ [1－cos(2ωt) ] / 2 }再把各自的上下限代入计算就可以了。

【如果】∫【0，π】[Isin(ωt)}²dt=I²∫【0，π】0.5[1-cos(2ωt)]dt=I²[0.5t-0.25sin(2ωt)]【上限π，下限0】=πI²/2-0.25sin(2πω)【若ω是整数】=πI²/2