数学分析的题目

只要v(x)≠0，v´(x)存在即可。按导数定义，考虑下式的极限；[1/v(x+∆x)-1/v(x)]/∆x=-[v(x+∆x)-v(x)]/∆x·v(x+∆x)·v(x)={[v(x+∆x)-v(x)]/∆x}·[-1/v(x+∆x)·v(x)]. (1)由于v(x)可导，lim(∆x→0)[v(x+∆x)-v(x)]/∆x=v´(x). (2)由于v在x处连续且v(x)≠0，lim(∆x→0)[-1/v(x+∆x)·v(x)]=-1/v²(x). (3)(1)式两边取极限，并注意到(2)、(3)式，就有[1/v(x)]´=lim(∆x→0)[1/v(x+∆x)-1/v(x)]/∆x={lim(∆x→0)[v(x+∆x)-v(x)]/∆x}·{lim(∆x→0)[-1/v(x+∆x)·v(x)]}=-v´(x)/v²(x).