证明函数是减函数

也就是证明f(x1)-f(x2)>0,(x1<x2)。

设0＜x1＜x2f（x1）-f（x2）=x1/(1+x1²）-x2/（1+x2²）=x1x2（x2-x1）/（1+x1²）（1+x2²）＜0即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在区间【0，+∞）上是减函数。

f'(x)=[1+x²-x·2x]/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²x∈[0,1)时，f'(x)>0→f(x)是增函数x∈(1,＋∞)时，f'(x)<0→f(x)是减函数

这个证明有问题，这个函数是增函数，证明如下：你可以想一下，当x=0的时候，f（x）=0,当x是正数的时候，原函数是正值，怎么会是减函数呢？

您好：按照一般的增减性的证明方法就行。做一下，因式分解就是。

当x=0 x/（1+x²）=0当x=0.001 x/(1+x²)≈0.001>0当x=0.01　　 x/(1+x²)≈0.01>0.001当x=1 x/(1+x²)=1/2>0.1当x=2 x/(1+x²)=2/5<1/2当x=3 x/(1+x²)=3/10<2/5从以上数据可见该函数在区间［0,+∞)上并不是减函数

证明： 设 x₁，x₂∈[ 0，+∞）。 且有 0≤x₁＜x₂＜+∞ 则： f(x₁)=x₁/(1+x₁²) f(x₂)=x₂/(1+x₂²) f(x2)-f(x₁)=[x₂/(1+x₂²)]-[x₁/(1+x₁²)] =[x₂(1+x₁²)-x₁(1+x₂²)]/[(1+x₂²)(1+x₁²)] =(x₂-x₁)(1-x₁x₂)/(1+x₂²)(1+x₁²) 因为 ，0≤x₁＜x₂＜+∞ 所以，(1+x₂²)(1+x₁²)＞0 x₂-x₁＞0 1-x₁x₂＜0 所以：f(x₂)-f(x₁)＜0 即： f(x₁)＞f(x₂)，且x₁＜x₂ 所以，f(x) 在 [0,+∞）上是减函数。